El temperamento igual: afinando el mundo musical moderno

Un misterio que empieza con los oídos

Antes de que existiera el do sostenido, existió el problema del do sostenido.

Hay algo que cualquier músico que haya afinado un instrumento sabe, aunque quizás no haya pensado mucho en ello: afinar es difícil. No en el sentido de que requiera habilidad —eso también—, sino en un sentido más profundo: afinar perfectamente es, en términos estrictos, matemáticamente imposible.

Esta afirmación suena extraña. La música parece algo ordenado, preciso, mensurable. Las notas tienen frecuencias definidas, los intervalos tienen relaciones numéricas exactas. ¿Cómo puede ser imposible afinar perfectamente? La respuesta está en una contradicción que los pitagóricos descubrieron hace más de dos mil años y que los constructores de instrumentos del siglo XVII tuvieron que resolver por la fuerza: las matemáticas de los intervalos musicales no cierran. No existe ningún sistema de afinación que sea perfectamente justo en todas las tonalidades al mismo tiempo. Y durante siglos, esa imperfección estuvo en el centro de uno de los problemas técnicos más complejos de la historia de la música.

El problema: la coma de Pitágoras

Para entender el problema del temperamento, hay que entender qué es un intervalo y por qué sus matemáticas no cuadran.

Un intervalo es la relación entre dos frecuencias sonoras. La octava, el intervalo más fundamental de todos, tiene una relación de 2:1: si la nota La vibra a 440 hercios, la octava superior vibra a 880. Esta relación es perfecta, universal, reconocida por todos los oídos humanos como consonante.

El problema aparece cuando intentamos construir los demás intervalos con el mismo rigor matemático. La quinta justa —el intervalo entre do y sol, por ejemplo— tiene una relación de 3:2. Es un intervalo hermoso, estable, perfectamente consonante. Si partimos de do y subimos doce quintas sucesivas, deberíamos llegar exactamente siete octavas más arriba del do original. Las matemáticas dicen que así debería ser. Pero no es así.

Cuando subes doce quintas perfectas de 3:2, el resultado no coincide exactamente con siete octavas perfectas de 2:1. La diferencia es pequeña —aproximadamente una cuarta parte de un semitono— pero es real y audible. Los matemáticos medievales la llamaron la coma de Pitágoras, y durante más de mil años fue una especie de escándalo secreto de la teoría musical: el universo sonoro no cierra, no es perfectamente redondo, tiene una grieta.

Las consecuencias prácticas: el lobo

Esta grieta matemática tenía consecuencias muy concretas para los músicos de los siglos XIV, XV y XVI.

Los instrumentos de teclado de esa época —órganos, clavicémbalos, virginals— se afinaban siguiendo el sistema que hoy llamamos temperamento mesotónico, que intentaba hacer perfectas las terceras mayores a costa de distorsionar ligeramente las quintas. El resultado era que el instrumento sonaba espléndidamente en las tonalidades más comunes —do mayor, re mayor, fa mayor, sol mayor— pero producía intervalos cada vez más distorsionados a medida que uno se alejaba hacia tonalidades con muchos sostenidos o bemoles.

El caso extremo de esta distorsión tenía un nombre: el intervalo de lobo. Era el intervalo que resultaba de la quinta «sobrante» —la que aparecía cuando el ciclo de quintas no cerraba perfectamente— y sonaba tan mal, tan disonante, tan ajeno al resto del instrumento, que los músicos lo llamaron lobo porque aullaba. Ningún músico tocaba en las tonalidades que lo contenían, sencillamente porque resultaba insoportable. Esto significaba que un teclado afinado en temperamento mesotónico tenía, en la práctica, una cantidad limitada de tonalidades utilizables.

El temperamento igual: la solución matemática

La solución al problema del lobo fue elegante y, en cierto sentido, filosóficamente audaz: en lugar de intentar hacer perfectos algunos intervalos a costa de otros, ¿por qué no distribuir la imperfección de manera uniforme entre todos los intervalos?

Esta es la idea del temperamento igual: dividir la octava en doce semitonos exactamente iguales, cada uno con la misma relación matemática respecto al siguiente. La octava sigue siendo perfecta (2:1), pero todos los demás intervalos son ligeramente imperfectos. La quinta, en temperamento igual, no es 3:2 exacto sino una aproximación que está apenas dos centésimas de semitono por debajo de la quinta justa. La tercera mayor es algo más grande de lo que debería ser en teoría pura.

¿El resultado? Ningún intervalo es perfectamente consonante, pero ningún intervalo aulle. El lobo desaparece porque su imperfección ha sido distribuida entre todas las quintas del círculo. Y lo más importante: todas las tonalidades son exactamente equivalentes entre sí. Do mayor y fa sostenido mayor suenan con el mismo carácter, la misma estabilidad, la misma paleta de colores.

La idea del temperamento igual no era nueva en el siglo XVII: teóricos chinos y europeos la habían discutido desde mucho antes. Lo que cambió fue la necesidad de aplicarla. A medida que el sistema tonal fue exigiendo más y más modulaciones entre tonalidades distantes, el temperamento mesotónico dejó de ser una solución aceptable. El compositor que quería modular de do mayor a fa sostenido mayor se encontraba con que su instrumento de teclado sencillamente no podía seguirlo.

Bach y el círculo completo

La consecuencia más célebre de la adopción del temperamento igual fue una colección de piezas que Johann Sebastian Bach compuso a partir de 1722: El clave bien temperado (Das Wohltemperierte Clavier), una serie de preludios y fugas en las veinticuatro tonalidades posibles —doce mayores y doce menores— ordenadas cromáticamente.

El mensaje de Bach era tanto musical como técnico: con un instrumento correctamente temperado, es posible componer —y que suene bien— en cualquier tonalidad. El ciclo completo era una demostración, una prueba, un manifiesto. Cada preludio y fuga tenía su propio carácter, su propio color, su propia personalidad: la oscuridad de do menor, la brillantez de re mayor, la gravedad de si menor. Tonalidades que antes eran inalcanzables se convirtieron en territorios habitables con sus propias cualidades expresivas. Hablaremos de Bach en detalle en el siguiente post, pero su nombre y el temperamento igual están ligados de manera indisoluble.

Los instrumentos y el problema de la afinación variable

El temperamento igual resolvió el problema de los teclados, pero no el de todos los instrumentos.

Los instrumentos de cuerda —violín, viola, violonchelo, contrabajo— son instrumentos de afinación continua: el músico puede ajustar la altura de cada nota con infinita precisión mediante la presión del dedo sobre la cuerda. Un violinista experto afina instintivamente sus notas de manera ligeramente distinta según el contexto armónico: la tercera de un acorde mayor la tocará un poco más alta que la que marcaría el temperamento igual, porque la tercera «justa» suena más pura. Esto significa que en un cuarteto de cuerdas, los músicos están constantemente haciendo microajustes que los teclados no pueden hacer.

Los instrumentos de viento tenían sus propios problemas: las trompas naturales del Barroco solo podían tocar las notas de la serie armónica natural de su fundamental; las flautas y oboes tenían digitaciones especiales para corregir pequeñas desafinaciones. El paso al temperamento igual fue, en muchos casos, un proceso gradual que tardó décadas en completarse en la práctica orquestal.

Lo que el temperamento igual garantizó no fue la perfección acústica —que es matemáticamente inalcanzable— sino la igualdad de condiciones entre todas las tonalidades. Y esa igualdad fue la que hizo posible la música que conocemos: la sinfonía, la sonata, el cuarteto de cuerda como formas que atraviesan múltiples tonalidades en el transcurso de una sola obra.

Un compromiso que transformó el mundo

El temperamento igual es, en el fondo, un compromiso. Un acuerdo colectivo de aceptar una imperfección distribuida a cambio de una libertad total de movimiento armónico. Ninguna quinta es perfectamente justa, ninguna tercera es exactamente lo que la física del sonido produciría de manera natural. Pero a cambio, el compositor puede ir a cualquier parte, modular hacia cualquier tonalidad, construir estructuras armónicas de una complejidad que habría sido imposible con cualquier otro sistema.

Es tentador ver en esto una metáfora de algo más amplio: el arte como el arte de los compromisos productivos, de las imperfecciones que se aceptan conscientemente porque el resultado las justifica. Ninguna nota del piano está perfectamente afinada. Pero el piano puede tocar la Sonata Hammerklavier de Beethoven.

Hay algo más que vale la pena señalar: el oído humano se acostumbra. Varias generaciones después de la adopción generalizada del temperamento igual, la mayoría de los oyentes occidentales ya no percibe las quintas ligeramente comprimidas ni las terceras ligeramente ensanchadas como imperfecciones. Las percibe como la música. El estándar que nació de un compromiso matemático se convirtió en la referencia, en la norma, en lo que suena «afinado».

¿Puede una imperfección volverse invisible cuando todos la comparten? ¿Y qué ocurre con las músicas del mundo —el maqam árabe, los ragas indios, la música microtonal del siglo XX— que organizan los semitonos de manera distinta y que para el oído educado en el temperamento igual pueden sonar, en un primer momento, «desafinadas»? La respuesta es siempre la misma: no hay un único modo correcto de dividir la octava. Solo hay modos distintos, cada uno con su propia lógica, su propia belleza, su propio mundo.

La naturaleza ha dado al hombre la escala natural; la música le ha dado el temperamento igual. — Parafraseado de los debates entre teóricos del siglo XVIII sobre la justificación del temperamento

Sugerencias de escucha

• Preludio y fuga en do mayor, BWV 846 — Johann Sebastian Bach, El clave bien temperado (Libro I) · el primero de los veinticuatro: escúchalos sabiendo que fue escrito para demostrar que todas las tonalidades son posibles
• Preludio y fuga en do sostenido menor, BWV 849 — Bach, El clave bien temperado (Libro I) · una tonalidad que antes del temperamento igual era prácticamente inhabitable; ahora tiene una gravedad propia
• Concierto de Brandeburgo n.º 2 en fa mayor, BWV 1047 — Bach · escucha la trompeta natural tocando en los límites de lo que su serie armónica permite; el temperamento no resuelve todos los problemas
• Piezas para teclado — Louis Couperin · contemporáneo de Bach; compara su mundo armónico con el de El clave bien temperado y verás la diferencia que el temperamento hizo